Ilmu Budaya Dasar: Himpunan Bilangan

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

Notasi Himpunan

Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Nama	Notasi	Contoh
Himpunan	Huruf besar
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)
Kelas	Huruf tulisan tangan	$Description: \mathcal{C}$

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan	Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks
Notasi	$Description: \mathbb{N}$	$Description: \mathbb{Z}$	$Description: \mathbb{Q}$	$Description: \mathbb{R}$	$Description: \mathbb{C}$

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol	Arti
$Description: \{ \}$ atau $Description: \varnothing$	Himpunan kosong
$Description: \cup$	Operasi gabungan dua himpunan
$Description: \cap$	Operasi irisan dua himpunan
$Description: \subseteq$ , $Description: \subset$ , $Description: \supseteq$ , $Description: \supset$	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
	Komplemen
$Description: \mathcal{P}(A)$	Himpunan kuasa

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

Himpunan kosong

Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Relasi antar himpunan

Himpunan bagian

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}

{jeruk, pisang}

{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

$Description: B \subseteq A \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in A$

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka $Description: \varnothing$ juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

$Description: \varnothing \subseteq A$

Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

$Description: A \subseteq A$

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.

Kesamaan dua himpunan

Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah $Description: \mathcal{P}(A)$ .

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka $Description: \mathcal{P}(A)$ :

{ { },

{apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},

{apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},

{jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},

{apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang},

{apel, jeruk, mangga, pisang} }

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

Kelas

Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, adalah sebuah keluarga himpunan.

Contoh berikut, bukanlah sebuah kelas, karena mengandung anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan adalah 4. Himpunan juga memiliki anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.

Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat fungsi yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.

Himpunan Denumerabel

Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan $Description: \mathbb{N}$ , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas $Description: \mathfrak{a}$ .

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh $Description: 2n\,$ .

Himpunan Berhingga

Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas $Description: \mathfrak{a}$ , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan Tercacah

Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel

Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas $Description: \mathfrak{c}$ . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.

Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas $Description: \mathfrak{c}$ , karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah .

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.

$Description: \chi_{A}(x) = \begin{cases} 1,\quad\mbox{jika } x \in A \\ 0,\quad\mbox{jika } x \notin A \end{cases}$

Jika maka:

Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa $Description: \mathcal{P}(S)$ dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah anggota dalam himpunan tersebut.

Representasi Biner

Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:

Himpunan Representasi Biner

---------------------------- -------------------

a b c d e f g

S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1

A = { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0

B = { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0

Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan), interseksi (irisan), dan komplemen (pelengkap), karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal dan juga Delphi.

Opersai dasar

Gabungan

Gabungan antara himpunan A dan B.

Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.

{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.

{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat dasar gabungan:

A ∪ B = B ∪ A.

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

A ⊆ (A ∪ B).

A ∪ A = A.

A ∪ ∅ = A.

A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.

Irisan

Irisan antara himpunan A dan B.

Operasi irisan A ∩ B setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama antara dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = ∅, maka A dan B dapat dikatakan disjoint (terpisah).

Contoh:

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.

{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.

{Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.

{Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat dasar irisan:

A ∩ B = B ∩ A.

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.

A ∩ B ⊆ A.

A ∩ A = A.

A ∩ ∅ = ∅.

A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen

Komplemen B terhadap A.

Komplemen A terhadap U.

Diferensi simetris himpunan A dan B.

Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota diluar himpunan tersebut.

Contoh:

{1, 2} \ {1, 2} = ∅.

{1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat dasar komplemen:

A \ B ≠ B \ A untuk A ≠ B.

A ∪ A′ = U.

A ∩ A′ = ∅.

(A′)′ = A.

A \ A = ∅.

U′ = ∅ dan ∅′ = U.

A \ B = A ∩ B′.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B menghasilkan

Contohnya, diferensi simetris antara:

{7,8,9,10} dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}.

{Ana,Budi,Dedi,Felix} dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah {Ana,Cici,Ela,Felix}.

Hasil Kali Kartesian

Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.

Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan antara A dan B didefinisikan dengan A × B. Anggota himpunan | A × B | adalah pasangan terurut (a,b) dimana a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B.

Contoh:

{1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.

{1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.

{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Beberapa sifat dasar himpunan perkalian:

A × ∅ = ∅.

A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).

(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).

| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris. Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perakaran. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.

Silsilah bilangan

Angka, bilangan, dan nomor

Dalam penggunaan sehari-hari, angka dan bilangan dan nomor seringkali disamakan. Secara definisi, angka, bilangan, dan nomor merupakan tiga entitas yang berbeda.

Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan. Contohnya, bilangan lima dapat dilambangkan menggunakan angka Hindu-Arab "5" (sistem angka berbasis 10), "101" (sistem angka biner), maupun menggunakan angka Romawi 'V'. Lambang "5", "1", "0", dan "V" yang digunakan untuk melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka.

Nomor biasanya menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yang berurutan. Misalnya kata 'nomor 3' menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, ..., dst. Kata "nomor" sangat erat terkait dengan pengertian urutan.

Jenis bilangan-bilangan Sederhana

Ada berbagai jenis bilangan. Bilangan-bilangan yang paling dikenal adalah bilangan bulat 0, 1, -1, 2, -2, ... dan bilangan-bilangan asli 1, 2, 3, ..., keduanya sering digunakan untuk berhitung dalam aritmatika. Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang bukan negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif. Himpunan semua bilangan bulat dalam buku-buku teks aljabar biasanya dinyatakan dengan lambang Z dan sedangkan himpunan semua bilangan asli biasanya dinyatakan dengan lambang N.

Setiap bentuk rasio p/q antara dua bilangan bulat p dan bilangan bulat bukan nol q disebut bilangan rasional atau pecahan. Himpunan semua bilangan rasional ditandai dengan Q.

Konsep Hingga Terhitung dan Tak Terhitung

Unsur-unsur ketiga himpunan N, Z dan Q di atas masih bisa 'diurutkan' (enumerated) tanpa ada satu pun yg tersisa atau tercecer. Himpunan berukuran tak hingga yg bisa diurutkan ini disebut himpunan terhitung (Inggris: countable atau denumerable).

Himpunan semua bilangan alami (real numbers), yaitu semua bilangan rasional digabung dengan semua bilangan tak rasional (atau irasional), dinyatakan dengan lambang R. Himpunan ini selain berukuran tak hingga, juga himpunan tak terhitung sebab bisa dibuktikan secara matematis, setiap usaha untuk mengurutkannya selalu gagal, karena menyisakan bilangan alami.

Silakan baca http://planetmath.org/encyclopedia/CantorsDiagonalArgument.html untuk contoh pembuktian di atas. Fakta ini menjadi titik awal untuk membedakan dua konsep tak hingga dalam matematika: tak hingga terhitung dan tak hingga tak terhitung.

Untuk contoh bagaimana matematikawan mendefinisikan bilangan melalui berbagai aksioma, lihat struktur abstrak, bilangan asli atau universal.

Sumber :
Lipschutz, S. Set Theory. McGraw-Hill

Delphi 5 Memory Management

Ilmu Budaya Dasar

Sabtu, 03 Mei 2014

Himpunan Bilangan

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Mengenai Saya