Sabtu, 03 Mei 2014

Logika Matematika


Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.
Hukum logika
  1. Hukum komutatif
    • p ∧ q ≡ q ∧ p
    • p ∨ q ≡ q ∨ p
  2. Hukum asosiatif
    • (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
    • (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
  3. Hukum distributif
    • p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
    • p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
  4. Hukum identitas
    • p ∧ B ≡ p
    • p ∨ S ≡ p
  5. Hukum ikatan
    • p ∧ S ≡ S
    • p ∨ B ≡ B
  6. Hukum negasi
    • p ∧ ~p ≡ S
    • p ∨ ~p ≡ B
  7. Hukum negasi ganda
    • ~(~p) ≡ p
  8. Hukum idempotent
    • p ∧ p ≡ p
    • p ∨ p ≡ p
  9. Hukum De Morgan
    • ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
    • ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
  10. Hukum penyerapan
    • p ∧ (p ∨ q) ≡ p
    • p ∨ (p ∧ q) ≡ p
  11. Negasi B dan S
    • ~B ≡ S
    • ~S ≡ B

Operasi Logika Matematika

Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Ingkaran

Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tapi tidak sekaligus keduanya. Contoh: Jakarta adalah ibukota Indonesia. (benar). Kota Jakarta terletak di Pulau Sumatera. (salah)
Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, sehingga belum dapat ditentukan kebenarannya. Contoh: merupakan kalimat terbuka karena mengandung variabel Description: x
Ingkaran atau negasi merupakan kebalikan/lawan dari suatu pernyataan. Jika diketahui pernyataan P, maka negasinya adalah Description: \sim P

Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

Konjungsi merupakan operasi logika matematika dengan tanda hubung “dan”. Simbolnya adalah Description: \wedge.
Jika ada dua pernyataan P dan Q, maka pada tabel kebenaran, hasilnya akan benar jika kedua pernyataannya bernilai benar. Sisanya salah.
Disjungsi merupakan logika matematika dengan tanda hubung “atau”, simbolnya Description: \vee.
Pada tabel kebenaran, hasilnya hanya salah jika kedua pernyataannya salah.
Implikasi disebut juga dengan “pernyataan bersyarat“, simbolnya adalah Description: \rightarrowatau Description: \Rightarrow, yang dibaca dengan “jika”. Misal Description: P \rightarrow Qmaka dibaca “jika P maka Q. Pada tabel kebenaran, hasilnya benar jika kedua pernyataannya benar atau kedua pernyataannya salah.
Biimplikasi merupakan implikasi dua arah, dengan simbol Description: \leftrightarrowatau Description: \Leftrightarrow. Misal Description: P \Leftrightarrow Q, maka dibaca “P jika dan hanya jika Q”.

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk merupakan pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan tunggal. Jadi, pernyataan ini terdiri dari beberapa operasi logika matematika.

 

 

 

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Jika diketahui operasi logika matematika Description: P \rightarrow Q, maka berlaku:
Konvers: Description: Q \leftarrow P
Invers:  Description: \sim P \rightarrow \sim Q
Kontraposisi: Description: \sim Q \rightarrow \sim P

Pernyataan Berkuantor

Kuantor Universal atau kuantor umum, menggunakan kata: semua, seluruhnya, atau setiap. Contoh: Semua manusia akan mati. Simbolnya adalah Description: \forall
Kuantor Eksistensial atau kuantor khusus, menggunakan kata: ada, beberapa, sebagian, terdapat. Contoh: Ada burung yang tidak bisa terbang. Simbolnya adalah Description: \exists.

Penarikan Kesimpulan

Dari beberapa pernyataan yang benar (premis) dan saling berhubungan, dapat ditarik suatu kesimpulan dari premis-premis tersebut.
Ada 3 pola utama dalam menarik suatu kesimpulan, yaitu modus ponens, modus tollens, dan silogisme.
Perhatikan pola berikut.

LOGIKA MATEMATIKA

A. Pernyataan
Yang dimaksud dengan kalimat atau pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
Ada dua jenis kalimat matematika, yaitu :
Kalimat tertutup, merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti.
Contoh :
a) 3 x 4 = 12 (pernyataan tertutup yang benar)
b) 3 + 4 = 12 (pernyataan tertutup yang salah)
Kalimat terbuka, merupakan pernyataan yang kebenarannya belum pasti.
Contoh :
a : Ada daun yang berwarna hijau
b : Gula putih rasanya manis


B. Ingkaran Pernyataan
Ingkaran atau negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang menyangkal pernyataan yang diberikan. Ingkaran suatu pernyataan dapat dibentuk dengan menambah “Tidak benar bahwa ...” di depan pernyataan yang diingkar. Ingkaran pernyataan adalah ~ p.
Contoh :
Misalkan pernyataan p : Tembakau yang mengandung nikotin.
Ingkaran penyataan p adalah ~ p. Tidak benar bahwa tembakau mengandung nikotin.
Tabel kebenaran dari ingkaran 

C. Pernyataan Majemuk

(i) Konjungsi
Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “dan” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p dan q” yang disebut konjungsi. Konjungsi “p dan q” dilambangkan dengan



(ii) Disjungsi
Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “atau” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p atau q” yang disebut disjungsi. Disjungsi p atau q dilambangkan dengan .



(iii) Implikasi
Implikasi “jika p maka q” dilambangkan dengan .



(iv) Biimplikasi
Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan .



D. Ekuivalensi Pernyataan – Pernyataan Majemuk


E. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut.

Sumber :

Diposting oleh di Tidak ada komentar:

PROPOSISI, KOMBINASI, HUKUM PROPOSISI,DAN TABEL KEBENARAN


   1. Pernyataan (Proposisi)

Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).

Sebuah proposisi(proposition) atau statement ialah sebuah kalimat deklaratif yang memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ”Benar”(B) atau ”Salah”(S).

Kalimat tanya atau kalimat perintah tidak dianggap sebagai pernyataan.

Berikut ini adalah beberapa contoh proposisi :

a. 1 + 2 = 3

b. Presiden RI tahun 2005 adalah SBY

c. 6 adalah bilangan prima

d. Warna bendera RI adalah biru dan merah

Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya. Kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d) bernilai salah.

Kalimat-kalimat berikut bukan pernyataan :

1. x + 2 = 10.

2. Minumlah sirup ini dua kali sehari.

3. Alangkah cantiknya gadis itu!

2. Mengkombinasikan Proposisi

Kita dapat membentuk proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih proposisi. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and), atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.

Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition). Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik. Metode pengkombinasian proposisi dibahas oleh matematikawan Inggris yang bernama George Boole pada tahun 1854 di dalam bukunya yang terkenal, The Laws of  Thought. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran.

Misalkan p dan q adalah proposisi.

Negasi:

Untuk sembarang proposisi, p, yang memiliki nilai kebenaran, B/S, maka negasinya ditulis sebagai, ~p, memiliki nilai kebenaran lawannya, S/B.

Berikut ini adalah contoh negasi :

p : Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera Selatan.

~p : Tidak benar Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera    Selatan.

atau

Palembang bukan ibukota propinsi Sumatera Selatan.

Di sini ~p salah karena p benar.

Kategori

 

Pengkelompokkan Proposisi dalam Ilmu Logika
Adapun penjelasan skema di atas adalah sebagai berikut:

Berdasarkan Bentuk

Berdasarkan bentuknya, proposisi diklasifikasikan menjadi dua kategori: tunggal dan majemuk. Proposisi Tunggal hanya mengungkap satu pernyataan saja dimana hanya didukung satu subjek dan satu predikat (kalimat tunggal). Sebagai contoh kalimat "Setiap manusia akan mati",dalam kalimat tersebut hanya terdapat satu subjek, yakni "manusia", sedang predikatnya berupa "mati". Kemudian Proposisi Majemuk, proposisi ini dibentuk dari gabungan dua proposisi tunggal atau lebih dimana kalimat pernyataan ini sekurang-kurangnya didukung dua pola kalimat. Misalnya seperti kalimat "Setiap warga negara harus menyadari hak dan tanggung jawabnya".

Berdasarkan Sifat Pembenaran atau Pengingkaran

Berdasarkan sifat pembenaran dan pengingkaran, terdapat dua kategori proposisi: kategorial dan kondisional. Proposisi kategorial menunjuk pada sebuah pembenaran atau pengingkaran yang bersifat mutlak; pasti benar atau pasti salah. Artinya, kebenaran terjadi tanpa syarat. Contoh: Semua orang akan mati. Selanjutnya adalah proposisi kondisional, yakni proposisi yang menunjuk pada pembenaran atau pengingkaran yang bersyarat atau berupa pilihan.
Kategori proposisi kondisional sendiri dapat dibedakan menjadi dua kategori, yakni hipotesis dan disjungtif. Proposisi Kondisional Hipotesis adalah proposisi yang menunjuk pada pembenaran yang bersyarat. Artinya bila proposisi terpenuhi, maka kebenaran terjadi. [3] Hal ini bisa kita lihat dalaam kalimat Jika hujan terjadi, tanah becek, jadi tanah akan becek jika terjadi hujan. Lain halnya dengan proposisi kondisional hipotesis, Proposisi Kondisional Disjungtif disebut juga alternatif. Hal ini didasarkan pada pembenaran yang berupa pilihan. Proposisi ini kerap kali menggunakan kata atau seperti dalam kalimat: Amir harus membantu orang tuanya atau membersihkan halaman rumah.

Berdasarkan Luas Pengertian

Berdasarkan luas pengertian, proposisi dibedakan menjadi tiga kategori: universal, partikular, dan singular. Proposisi Universal ialah sebuah proposisi yang mencakup seluruh aspek atau bagian. Hal ini ditandai dengan adanya kata: semua, seluruh, setiap, setiap kali, masing-masing. Sebagai contoh pada kalimat Tidak seorangpun dinegeri ini yang atheis.
Kemudian yang kedua adalah Proposisi Partikular, yakni yang mengungkapkan sebagian dari seluruh aspek. Kata tugas yang menandai proposisi partikular adalah beberapa, sebagaian, tidak semua, kebanyakan, banyak. Contoh: Tidak semua siswa tekun belajar.  Kata "tidak semua" dalam kalimat di atas merupakan proposisi partikular, yakni hanya mencakup sebagian aspek saja.
Dan yang terakhir adalah Proposisi Singular, proposisi ini hanya mengungkap satu aspek saja, di antara penandanya adalah kata ini dan itu. Misal penggunaannya dalam kalimat:Rumah ini akan dijual, kata rumah di sini hanya menunjukkan satu unsur. Jika terdapat dua unsur di dalamnya, maka suatu kalimat tidak bisa disebut dengan proposisi singular.

Berdasarkan Kualitas dan Kuantitas

Berdasarkan kualitas juga kuantitasnya, proposisi dapat terbagi menjadi dua, yaitu proposisi A, I, E, dan proposisi O. Yang dimaksud dengan Proposisi A di sini adalah proposisi universal atau singular positif; proposisi yang mengungkap keseluruhan dan pembenaran, pengakuan, atau positif. Contohnya kalimat Meja ini dibuat dari kayu jati".
Lain halnya dengan A, Proposisi E adalah proposisi universal atau singular negatif. Proposisi ini mengungkap keseluruhan pengingkaran, penolakan, atau negatif. Misalnya seperti kalimat "Meja ini tidak dibuat dari kayu jati", kata tidak dalam kalimat tersebut menunjukkan kenegatifan yang berupa pengingkaran.
Selain proposisi A juga E, berdasarkan kualitas dan kuantitasnya, proposisi juga terbagi lagi menjadi Proposisi I dan Proposisi O. Proposisi I ialah proposisi partikular aktif; mengungkap sebagian dari keseluruhan pengakuan, pembenaran, atau positif. Sebagaimana contoh dalam kalimat berikut "Beberapa siswa SMU Kebangsaan tekun belajar".
Proposisi O sendiri adalah proposisi partikular negatif; mengungkap sebagian dari keseluruhan pengingkaran, penolakan, atau negatif. Contoh: "Beberapa siwa SMU Kebangsaan tidak tekun belejar.

Sumber :

1.     ^ a b c d e f Rapar, Jan Hendrik (1996).Pengantar Logika, Asas-Asas Penalaran.Yogyakarta:Kanisius .Hal 32
2.     ^ Departemen Pendidikan Nasional(2008);Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama. Hal 1106. Cet Pertama Edisi IV
3.     ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa ab ac ad ae af ag ah ai aj ak al Kamdhi, JS.(2003).Terampil Berargumentasi.Jakarta:PT Grasindo. Hal 67-69
4.     ^ a b Hassan, Abdullah, dkk (2006).Sintaksis.Kuala Lumpur :PTS Professional Publishing. Hal 15-19
5.     ^ Ayer A.J. 1936, 2nd ed 1946. Language, truth and logic.
6.     ^ Lemmon E.J. Sentences, statements and propositions. In Williams & Montefiore (eds) British analytical philosophy. 1966.
7.     ^ Stroll A. 1967. Statements. In Stroll A. Epistemology.
8.     ^ a b Sudarminta, J. (2009).Epistemologi Dasar.Kanisius:Yogyakarta .Hal 98 Cet. 9

Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)